高校受験数学"確率の問題"を解いてみる
【出題】彎曲していく日常 2008/01/27 http://d.hatena.ne.jp/noharra/20080127
赤いカード4枚と青いカード3枚がある. ここから A,Bふたりが順番に1枚づつカードを引く. このとき
【1】Aが最初に赤を引き,3枚目に同じく赤を引く確率
【2】Aが最初に赤を引き,2枚目,3枚目が同じ色になる確率
【3】Aが1枚目と3枚目で同じ色を引く確率
【4】Bの引いた2枚目とAが3枚目に引くカードが同じ色である確率
をそれぞれ求めよ.
赤いカードに"0""2""4""6",青いカードに"1""3""5"の番号をつけ,3枚を並べる組合せを列挙する.
3枚を並べる組合せはすべてで7*6*5=210とおり.
| ↓1枚目 | |
"0" | 012 021 031 041 051 061 013 023 032 042 052 062 014 024 034 043 053 063 015 025 035 045 054 064 016 026 036 046 056 065 |
"1" | 102 120 130 140 150 160 103 123 132 142 152 162 104 124 134 143 153 163 105 125 135 145 154 164 106 126 136 146 156 165 |
"2" | 201 210 230 240 250 260 203 213 231 241 251 261 204 214 234 243 253 263 205 215 235 245 254 264 206 216 236 246 256 265 |
"3" | 301 310 320 340 350 360 302 312 321 341 351 361 304 314 324 342 352 362 305 315 325 345 354 364 306 316 326 346 356 365 |
"4" | 401 410 420 430 450 460 402 412 421 431 451 461 403 413 423 432 452 462 405 415 425 435 453 463 406 416 426 436 456 465 |
"5" | 501 510 520 530 540 560 502 512 521 531 541 561 503 513 523 532 542 562 504 514 524 534 543 563 506 516 526 536 546 564 |
"6" | 601 610 620 630 640 650 602 612 621 631 641 651 603 613 623 632 642 652 604 614 624 634 643 653 605 615 625 635 645 654 |
【1】最初,Aが赤("0""2""4""6"のいずれか)をとる組合せは
"0" | 012 021 031 041 051 061 013 023 032 042 052 062 014 024 034 043 053 063 015 025 035 045 054 064 016 026 036 046 056 065 |
"2" | 201 210 230 240 250 260 203 213 231 241 251 261 204 214 234 243 253 263 |
"4" | 401 410 420 430 450 460 402 412 421 431 451 461 403 413 423 432 452 462 405 415 425 435 453 463 406 416 426 436 456 465 |
"6" | 601 610 620 630 640 650 602 612 621 631 641 651 603 613 623 632 642 652 604 614 624 634 643 653 605 615 625 635 645 654 |
以上,1枚目赤は4*5*6=120とおり,うち3枚目にAが赤をとる組合せは4*5*3=60とおり. したがってAが勝つ!確率は60/120=0.5(50%).
【1'】1枚目赤をとると,残りは赤3枚,青3枚,したがってAが3枚目に赤(2枚目は残りの5枚のどれでもよい)をとる確率は 3/(3+3)=1/2=0.5(50%).
【2】最初,Aが赤を取った組合せのうち,2枚目Bのカードと3枚目Aのカードの色が同じ(共に奇数または共に偶数)になるのは太字の4*12=48とおり. したがってAが勝つ!確率は48/120=4/10=0.4(40%).
"0" | 012 021 031 041 051 061 013 023 032 042 052 062 014 024 034 043 053 063 015 025 035 045 054 064 016 026 036 046 056 065 |
"2" | 201 210 230 240 250 260 203 213 231 241 251 261 204 214 234 243 253 263 205 215 235 245 254 264 206 216 236 246 256 265 |
"4" | 401 410 420 430 450 460 402 412 421 431 451 461 403 413 423 432 452 462 405 415 425 435 453 463 406 416 426 436 456 465 |
"6" | 601 610 620 630 640 650 602 612 621 631 641 651 603 613 623 632 642 652 604 614 624 634 643 653 605 615 625 635 645 654 |
【2'】1枚目に赤をとったので,残りは赤,青各3枚. 2枚目に赤または青を取ると,3枚目になりえる5枚のうち同じ色=赤または青は2枚だから,同じ色を取る確率は2/5=0.4(40%).
【3】Aが1枚目に青いカード(奇数)をとる組合せ3*6*5=90とおりのうち,3枚目にも青カード(奇数)をとるのは 10*3=30とおり. したがって すべてで 7*6*5=210とおりのうち,1枚目,3枚目が同じ色となるのは90とおり(赤赤が60,青青が30) Aが勝つ!確率は 90/210=3/7=0.43(43%)
"1" | 102 120 130 140 150 160 103 123 132 142 152 162 104 124 134 143 153 163 105 125 135 145 154 164 106 126 136 146 156 165 |
"3" | 301 310 320 340 350 360 302 312 321 341 351 361 304 314 324 342 352 362 305 315 325 345 354 364 306 316 326 346 356 365 |
"5" | 501 510 520 530 540 560 502 512 521 531 541 561 503 513 523 532 542 562 504 514 524 534 543 563 506 516 526 536 546 564 |
【3'】1枚目赤だと3枚目が赤である確率は 3/6=0.5【1'】, 1枚目青だと残り6枚(赤4枚,青2枚)から3枚目も青である確率は2/6, 1枚目赤4/7,1枚目青3/7の重みをつけて 3/6*4/7 + 2/6*3/7 = 3/7=0.43(43%).
【4】Aが1枚目に青いカード(奇数)をとる組合せのうちBの2枚目とAの3枚目が同じ色になるのは,以下太字の14*3=42とおり.したがって2枚目と3枚目が同じ色になるのは48(1枚目赤の場合)+42(1枚目青の場合)=90とおり,Aが勝つ確率は 90/210=3/7で【3】と同じく0.43(43%).
"1" | 102 120 130 140 150 160 103 123 132 142 152 162 104 124 134 143 153 163 105 125 135 145 154 164 106 126 136 146 156 165 |
"3" | 301 310 320 340 350 360 302 312 321 341 351 361 304 314 324 342 352 362 305 315 325 345 354 364 306 316 326 346 356 365 |
"5" | 501 510 520 530 540 560 502 512 521 531 541 561 503 513 523 532 542 562 504 514 524 534 543 563 506 516 526 536 546 564 |
【4'】1枚目-2枚目-3枚目の色の組合せを一覧表にしてみると
1枚目 | 2枚目 | 3枚目 | それぞれが起きる確率 |
| 赤 4/7 | 赤 3/6 青 3/6 | 赤 2/5 青 3/5 赤 3/5 青 2/5 | 4/7 * 3/6 * 2/5 = 24/210 4/7 * 3/6 * 3/5 = 36/210 4/7 * 3/6 * 3/5 = 36/210 4/7 * 3/6 * 2/5 = 24/210 |
| 青3/7 | 赤 4/6 青 2/6 | 赤 3/5 青 2/5 赤 4/5 青 1/5 | 3/7 * 4/6 * 3/5 = 36/210 3/7 * 4/6 * 2/5 = 24/210 3/7 * 2/6 * 4/5 = 24/210 3/7 * 2/6 * 1/5 = 6/210 |
【自己採点】
- 数え落し,見落としはないと思うが,再度確認してみよう
- 表の並べ方,1枚目の次は3枚目で整理した方がすっきりして【1】【3】の見通しがよくなりそうだ
- 3/7=0.4285....の小数点以下の扱いあたりで減点されそうだがそのへんはいい加減
