高校受験数学"確率の問題"を解いてみる(part2)
【1"】01/29#p3【1'】では 赤3枚青3枚が混ざった計6枚から1枚づつ引いていくときに札の色の確率を求めるときに 確率計算のために i番目に赤を引く確率は (i-1)番目までの組合せには関係なく, i番目で引く赤は3/6,青は3/6となると考えた. これを手掛かりに考えると 赤m枚と青n枚が混ざった(m+n)枚から1枚づつ引いていく場合には 何番目であろうと 赤を引く確率は m/(m+n),青を引く確率は n/(m+n) となりそうだ *1. (01/29#p3【1】は m=3,n=3の場合に相当,同じく【3】は m=4,n=3の場合に相当する)
赤m枚,青n枚,合計(m+n)枚から始めて 最初の3枚の出方を考えてみる.
| 1枚目 | 2枚目 | 3枚目 | それぞれが起きる確率 |
| 赤 m/(m+n) | 赤 (m-1)/(m+n-1) 青 n/(m+n-1) | 赤 (m-2)/(m+n-2) 青 n/(m+n-2) 赤 (m-1)/(m+n-2) 青 (n-1)/(m+n-2) | 赤赤赤 m/(m+n) * (m-1)/(m+n-1) * (m-2)/(m+n-2) 赤赤青 m/(m+n) * (m-1)/(m+n-1) * n/(m+n-2) 赤青赤 m/(m+n) * n/(m+n-1) * (m-1)/(m+n-2) 赤青青 m/(m+n) * n/(m+n-1) * (n-1)/(m+n-2) |
| 青 n/(m+n) | 赤 m/(m+n-1) 青 (n-1)/(m+n-1) | 赤 (m-1)/(m+n-2) 青 (n-1)/(m+n-2) 赤 m/(m+n-2) 青 (n-2)/(m+n-2) | 青赤赤 n/(m+n) * m/(m+n-1) * (m-1)/(m+n-2) 青赤青 n/(m+n) * m/(m+n-1) * (n-1)/(m+n-2) 青青赤 n/(m+n) * (n-1)/(m+n-1) * m/(m+n-2) 青青青 n/(m+n) * (n-1)/(m+n-1) * (n-2)/(m+n-2) |
1枚目に赤となる確率
- = m/(m+n)
2枚目に赤となる確率
- 赤赤 + 青赤
= {m/(m+n) * (m-1)/(m+n)} + {n/(m+n) * m/(m+n-1)}
={m * (m-1) + n * m}/{(m+n) * (m+n-1)}
= m *
= m/(m+n)
3枚目に赤となる確率
- 赤赤赤 + 赤青赤 + 青赤赤 + 青青赤
={ m * (m-1) * (m-2) + m * n * (m-1) + n * m * (m-1) + n * (n-1) * m } / { (m+n) * (m+n-1) * (m+n-2) }
={ m * (m-1) *
={ m *
=m/(m+n)
途中略して
i枚目に赤となる確率
- = m/(m+n)
証明は=数学的帰納法を使うのか,ここまでで=なんちゃって帰納法で確認できたことにしておく.
【2"】i枚目が赤(i+1)枚目が赤と赤が続く確率も同様に,1枚目が赤で2枚目が赤の確率
- m * (m-1) / { (m+n) * (m+n-1) }
- [赤または青]赤赤
= 赤赤赤 + 青赤赤
={ m*(m-1)*(m-2) + n*m*(m-1) } / { (m+n) * (m+n-1) * (m+n-2) }
={ m * (m-1) *
= m * (m-1) / { (m+n) * (m+n-1) }
【2】は 赤赤または青青が続く確率を m=n=3 の場合について求めればよい.
- 赤赤 = 3/6 * 2/5
青青 = 3/6 * 2/5
赤赤または青青 = 3/6 * 2/5 * 2
= 2/5(40%)
【4】は m=4,n=3 の場合の 赤赤または青青が続く確率に相当
- 赤赤 = 4/7 * 3/6
青青 = 3/7 * 2/6
赤赤または青青
= (4*3 + 3*2)/(7*6)
= 3/7 = 0.43 (43%)
【5】A(先攻,1枚目以下奇数枚目を引く)とB(後攻偶数枚目を引く)が交互に札を引いて,直前の相手と同じ色を最初に引いたほうが勝ち!の勝負を 赤4枚,青3枚(計7枚)の場合で考えてみる.【出題:彎曲する日常 2008/02/01 http://d.hatena.ne.jp/noharra/20080201 その出典は カンガク高等部 2006年度】
勝ち負けが決まるまでは 赤青赤青...または 青赤青赤 と交互に引き,勝ち負けが決まったところで打ち切る.
- A B A B A B A
1 2 3 4 5 6 7枚目 [勝者]
--------------
赤赤 [B]
赤青青 [A]
赤青赤赤 [B]
赤青赤青青 [A]
赤青赤青赤赤 [B]
赤青赤青赤青赤 [引分け]
青青 [B]
青赤赤 [A]
青赤青青 [B]
青赤青赤赤 [A]
青赤青赤青赤赤 [A]
【Aの勝ち】
赤青青 = (4/7) * (3/6) * (2/5)
赤青赤青青 = (4/7) * (3/6) * (3/5) * (2/4) * (1/3)
青赤赤 = (3/7) * (4/6) * (3/5)
青赤青赤赤 = (3/7) * (4/6) * (2/5) * (3/4) * (2/3)
青赤青赤青赤赤 = (3/7) * (4/6) * (2/5) * (3/4) * (1/3) * (2/2) * (1/1)
合計すると { 4*3*2*4*3 + 4*3*3*2*1 + 3*4*3*4*3 + 3*4*2*3*2 + 3*4*2*3*1 } / (7*6*5*4*3)
= { 288 + 72 + 432 + 144 + 72 } / (7*6*5*4*3)
= 1008 / (7*6*5*4*3) =
= 0.40(40%)
【Bの勝ち】
赤赤 = 4/7 * 3/6
赤青赤赤 = 4/7 * 3/6 * 3/5 * 2/4
赤青赤青赤赤 = 4/7 * 3/6 * 3/5 * 2/4 * 2/3 * 1/2
青青 = 3/7 * 2/6
青赤青青 = 3/7 * 4/6 * 2/5 * 1/4
合計すると { 4*3*5*4*3*2 + 4*3*3*2*3*2 + 4*3*3*2*2*1 + 3*2*5*4*3*2 + 3*4*2*1*3*2 } / (7*6*5*4*3*2)
= { 1440 + 432 + 144 + 720 + 144 } / (7*6*5*4*3*2)
= 2880 / (7*6*5*4*3*2)
= 0.57143(57.1%)
【引き分け】
赤青赤青赤青赤 = 4/7 * 3/6 * 3/5 * 2/4 * 2/3 * 1/2 *1/1 = 144/
= 0.028571(2.9%)
【検算】
≪Aの勝ち≫ = 0.40
≪Bの勝ち≫ + ≪引き分け≫ = 0.60
≪Aの勝ち≫ + ≪Bの勝ち≫ + ≪引き分け≫ = 1.0
検算も矛盾なく終り.
== 宿題 ==
先攻A,後攻Bが勝つ!確率を以下【6】について計算する.
【6】一般に 赤m枚,青n枚の場合 相手がひとつ前に引いた札と同じ色を最初に引いたほうが勝ち! *2
【7】一般に 赤m枚,青n枚の場合 自分がひとつ前に引いた札と同じ色を最初に引いたほうが勝ち! *3
