高校受験数学"確率の問題"を解いてみる(part2)

【1"】01/29#p3【1'】では 赤3枚青3枚が混ざった計6枚から1枚づつ引いていくときに札の色の確率を求めるときに 確率計算のために i番目に赤を引く確率は (i-1)番目までの組合せには関係なく, i番目で引く赤は3/6,青は3/6となると考えた. これを手掛かりに考えると 赤m枚と青n枚が混ざった(m+n)枚から1枚づつ引いていく場合には 何番目であろうと 赤を引く確率は m/(m+n),青を引く確率は n/(m+n) となりそうだ *1. (01/29#p3【1】は m=3,n=3の場合に相当,同じく【3】は m=4,n=3の場合に相当する)


赤m枚,青n枚,合計(m+n)枚から始めて 最初の3枚の出方を考えてみる.

1枚目2枚目3枚目 それぞれが起きる確率 
赤 m/(m+n)赤 (m-1)/(m+n-1)
 
青   n/(m+n-1)
 
赤 (m-2)/(m+n-2)
青   n/(m+n-2)
赤 (m-1)/(m+n-2)
青 (n-1)/(m+n-2)
 赤赤赤 m/(m+n) * (m-1)/(m+n-1) * (m-2)/(m+n-2)
 赤赤青 m/(m+n) * (m-1)/(m+n-1) * n/(m+n-2)
 赤青赤 m/(m+n) * n/(m+n-1) * (m-1)/(m+n-2)
 赤青青 m/(m+n) * n/(m+n-1) * (n-1)/(m+n-2)
青 n/(m+n)赤   m/(m+n-1)
 
青 (n-1)/(m+n-1)
 
赤 (m-1)/(m+n-2)
青 (n-1)/(m+n-2)
赤   m/(m+n-2)
青 (n-2)/(m+n-2)
 青赤赤 n/(m+n) * m/(m+n-1) * (m-1)/(m+n-2)
 青赤青 n/(m+n) * m/(m+n-1) * (n-1)/(m+n-2)
 青青赤 n/(m+n) * (n-1)/(m+n-1) * m/(m+n-2)
 青青青 n/(m+n) * (n-1)/(m+n-1) * (n-2)/(m+n-2)


1枚目に赤となる確率

    = m/(m+n)


2枚目に赤となる確率

    赤赤 + 青赤
    = {m/(m+n) * (m-1)/(m+n)} + {n/(m+n) * m/(m+n-1)}
    ={m * (m-1) + n * m}/{(m+n) * (m+n-1)}
    = m * (m+n-1) /{(m+n) * (m+n-1) }
    = m/(m+n)

3枚目に赤となる確率

    赤赤赤 + 赤青赤 + 青赤赤 + 青青赤
    ={ m * (m-1) * (m-2) + m * n * (m-1) + n * m * (m-1) + n * (n-1) * m } / { (m+n) * (m+n-1) * (m+n-2) }
    ={ m * (m-1) * (m+n-2) + m * n * (m+n-2) } / {(m+n) * (m+n-1) * (m+n-2)}
    ={ m * (m+n-1) } / {(m+n) * (m+n-1)}
    =m/(m+n)


途中略して


i枚目に赤となる確率

    = m/(m+n)


証明は=数学的帰納法を使うのか,ここまでで=なんちゃって帰納法で確認できたことにしておく.




【2"】i枚目が赤(i+1)枚目が赤と赤が続く確率も同様に,1枚目が赤で2枚目が赤の確率

    m * (m-1) / { (m+n) * (m+n-1) }
に等しいと考えることができる. 2枚目3枚目赤が続く確率を上の表より求めると
    [赤または青]赤赤
    = 赤赤赤 + 青赤赤
    ={ m*(m-1)*(m-2) + n*m*(m-1) } / { (m+n) * (m+n-1) * (m+n-2) }
    ={ m * (m-1) * (m-2+n) } / { (m+n) * (m+n-1) * (m+n-2) }
    = m * (m-1) / { (m+n) * (m+n-1) }

【2】は 赤赤または青青が続く確率を m=n=3 の場合について求めればよい.

    赤赤 = 3/6 * 2/5
    青青 = 3/6 * 2/5
    赤赤または青青 = 3/6 * 2/5 * 2
    = 2/5(40%)

【4】は m=4,n=3 の場合の 赤赤または青青が続く確率に相当

    赤赤 = 4/7 * 3/6
    青青 = 3/7 * 2/6
     
    赤赤または青青
    = (4*3 + 3*2)/(7*6)
    = 3/7 = 0.43 (43%)



【5】A(先攻,1枚目以下奇数枚目を引く)とB(後攻偶数枚目を引く)が交互に札を引いて,直前の相手と同じ色を最初に引いたほうが勝ち!の勝負を 赤4枚,青3枚(計7枚)の場合で考えてみる.【出題:彎曲する日常 2008/02/01 http://d.hatena.ne.jp/noharra/20080201 その出典は カンガク高等部 2006年度】



勝ち負けが決まるまでは 赤青赤青...または 青赤青赤 と交互に引き,勝ち負けが決まったところで打ち切る.

    A B A B A B A
    1 2 3 4 5 6 7枚目 [勝者]
    --------------
    赤赤 [B]
    赤青青 [A]
    赤青赤赤 [B]
    赤青赤青青 [A]
    赤青赤青赤赤 [B]
    赤青赤青赤青赤 [引分け]
     
    青青 [B]
    青赤赤 [A]
    青赤青青 [B]
    青赤青赤赤 [A]
    青赤青赤青赤赤 [A]



【Aの勝ち】
赤青青 = (4/7) * (3/6) * (2/5)
赤青赤青青 = (4/7) * (3/6) * (3/5) * (2/4) * (1/3)
青赤赤 = (3/7) * (4/6) * (3/5)
青赤青赤赤 = (3/7) * (4/6) * (2/5) * (3/4) * (2/3)
青赤青赤青赤赤 = (3/7) * (4/6) * (2/5) * (3/4) * (1/3) * (2/2) * (1/1)

合計すると { 4*3*2*4*3 + 4*3*3*2*1 + 3*4*3*4*3 + 3*4*2*3*2 + 3*4*2*3*1 } / (7*6*5*4*3)
= { 288 + 72 + 432 + 144 + 72 } / (7*6*5*4*3)
= 1008 / (7*6*5*4*3) =
= 0.40(40%)



【Bの勝ち】
赤赤 = 4/7 * 3/6
赤青赤赤 = 4/7 * 3/6 * 3/5 * 2/4
赤青赤青赤赤 = 4/7 * 3/6 * 3/5 * 2/4 * 2/3 * 1/2
青青 = 3/7 * 2/6
青赤青青 = 3/7 * 4/6 * 2/5 * 1/4

合計すると { 4*3*5*4*3*2 + 4*3*3*2*3*2 + 4*3*3*2*2*1 + 3*2*5*4*3*2 + 3*4*2*1*3*2 } / (7*6*5*4*3*2)
= { 1440 + 432 + 144 + 720 + 144 } / (7*6*5*4*3*2)
= 2880 / (7*6*5*4*3*2)
= 0.57143(57.1%)



【引き分け】
赤青赤青赤青赤 = 4/7 * 3/6 * 3/5 * 2/4 * 2/3 * 1/2 *1/1 = 144/
= 0.028571(2.9%)



【検算】

≪Aの勝ち≫ = 0.40

≪Bの勝ち≫ + ≪引き分け≫ = 0.60

≪Aの勝ち≫ + ≪Bの勝ち≫ + ≪引き分け≫ = 1.0

検算も矛盾なく終り.




== 宿題 ==

先攻A,後攻Bが勝つ!確率を以下【6】について計算する.



【6】一般に 赤m枚,青n枚の場合 相手がひとつ前に引いた札と同じ色を最初に引いたほうが勝ち! *2



【7】一般に 赤m枚,青n枚の場合 自分がひとつ前に引いた札と同じ色を最初に引いたほうが勝ち! *3



 

*1:宝籤を発売直後一番乗りで買っても売り切れ直前最後に買っても当たる確率は同じ〜nearly zeroということになる/古の人の教え=《残り物には福がある》場合もあるはずですが

*2:【6】手付かず

*3:【7】こちらの問題は m=n=3の場合も,m=4,n=3の場合も途中で諦めてしまった