13枚の金貨

memo

(問題) 13枚の金貨の中に 1枚だけ偽物が混ざっていて重さが異なる[重いか軽いかは不明]. 天秤を 3回使って, 偽金貨を捜し出せ.

(1回目の比較)

  • (A+B+C+D) と (E+F+G+H) を比べる. I,J,K,L,M は お休み.

3種類の結果がありえる.


(1-1) (A+B+C+D) = (E+F+G+H) → A,B,C,D,E,F,G,H の 8枚は本物. かつ 偽金(軽重不明) は I,J,K,L,M のどれかであることがわかった.


(1-2) (A+B+C+D) > (E+F+G+H) → A,B,C,D のうちの 1枚が偽金(重い) か または E,F,G,H のうちの 1枚が偽金(軽い) . かつ I,J,K,L,M 5枚は本物. であることがわかった.

(1-3) (A+B+C+D) < (E+F+G+H) → A,B,C,D のうちの 1枚が偽金(軽い) か または E,F,G,H のうちの 1枚が偽金(重い) . かつ I,J,K,L,M 5枚は本物. であることがわかった.

2回目の比較

(1-1)だった場合

  • (A+B+C) と (I+J+K) を比べる [上記(1-1)のとおり 既に A,B,C 3枚が本物であることはわかっている]

(1-1-1) (A+B+C) = (I+J+K) → I,J,K は本物, したがって 偽金(軽重不明)は L,M 2枚のどちらかであることがわかった. → 3回目は 本物 A と L を比較する. A=L であれば 偽金は M(軽重不明). A>L または A (I+J+K) → I,J,K 3枚のうちどれか 1枚が偽金(軽い) → 3回目に 3枚の金貨から軽重判っている偽金を 捜す[3枚から軽重がわかっている1枚を捜すところまでいけば,以下,同様なので省略]



(1-1-3) (A+B+C) < (I+J+K) → I,J,K 3枚のうちどれか 1枚が偽金(重い)




(1-2) (A+B+C+D) > (E+F+G+H) だった場合

  • (E+F+G+D) と (H+I+J+K) を比べる. A,B,C,L,M は お休み.


(1-2-1) (E+F+G+D) = (H+I+J+K) → A,B,C のうちどれか 1枚が 偽金(重い)



(1-2-2) (E+F+G+D) > (H+I+J+K) → D が 偽金(重い) または Hが 偽金(軽い) → 3回目の比較は 本物 A と D , D>A ならば Dが偽金 | D=A ならば Hが偽金.



(1-2-3) (E+F+G+D) < (H+I+J+K) → E,F,G のうちどれか 1枚が 偽金(軽い).




(1-3) (A+B+C+D) < (E+F+G+H) だった場合

  • (E+F+G+D) と (H+I+J+K) を比べる. A,B,C,L,M は お休み.


(1-3-1) (E+F+G+D) = (H+I+J+K) → A,B,C のうちどれか 1枚が 偽金(軽い).



(1-3-2) (E+F+G+D) < (H+I+J+K) → D が 偽金(軽い) または Hが偽金(重い)



(1-3-3) (E+F+G+D) > (H+I+J+K) → E,F,G のうちどれか 1枚が 偽金(重い).

以上 (1-1-1) で Mが軽重不明の偽金となる場合以外はすべて偽金の軽重も判明する.


数学の部屋 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/

『にせ金探し,コイン問題シリーズ』 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/nise.htm

『にせ金を探せPart4』解答 http://web2.incl.ne.jp/yaoki/anise4.htm

R回の天秤操作で偽コイン(軽重不明の1枚)を見つけ出せるコインの枚数M

の内容, あたしは 問題の条件を まだ理解できずにいるようだ.